Содержание

5 Оглавление

13 Предисловие

15 Глава 1. Звук

15 1.1. Распространение звука в газах

16 1.1.1. Приближение сплошной среды

17 1.1.2. Уравнение непрерывности

18 1.1.3. Уравнение Эйлера

19 1.1.4. Уравнение адиабатичности течения и уравнения газовой динамики

22 1.1.5. Волновое уравнение

28 1.1.6. Законы сохранения импульса и энергии в газовой динамике

32 1.1.7. Энергия и импульс звуковых волн

35 1.1.8. Лагранжева формулировка законов сохранения для звуковых волн

38 1.1.9. Лагранжиан уравнений гидродинамики для потенциальных течений

40 1.1.10. Звуковые и энтропийные волны

42 1.1.11. О математике звуковых волн

48 1.1.12. Влияние диссипации на распространение звука

50 1.2. Волны на поверхности воды

50 1.2.1. Формулировка проблемы

53 1.2.2. Законы сохранения массы, импульса и энергии для волн на воде

57 1.2.3. Теория мелкой воды

59 1.2.4. Двухслойная жидкость

65 1.3. Динамика бозе-эйнштейновского конденсата

65 1.3.1. Однокомпонентный конденсат

67 1.3.2. Лагранжева и гамильтонова формулировка уравнения Гросса–Питаевского

71 1.3.3. Двухкомпонентный конденсат

74 1.4. Заключение

75 Глава 2. Нелинейность

75 2.1. Уравнение Хопфа

75 2.1.1. «Пылевидная материя»

76 2.1.2. Общее решение уравнения Хопфа и его свойства

81 2.2. Задача об истечении газа в пустоту и волна разрежения

87 2.3. Простая волна

90 2.4. Задача о поршне

94 2.5. Уравнение Хопфа в теории возмущений

99 2.6. Инварианты Римана для системы двух уравнений первого порядка

99 2.6.1. Уравнения газовой динамики в диагональной римановой форме

102 2.6.2. Общая система двух уравнений первого порядка

105 2.7. Обтекание газом угла

113 2.8. Метод годографа для уравнений газовой динамики

122 2.9. Задача о расширении газового слоя

128 2.10. Расширение газового облака в пустоту

134 2.11. Эволюция импульса плотности в одноатомном газе

135 2.11.1. Монотонное начальное возвышение плотности

137 2.11.2. Локализованные начальные возвышения плотности

142 2.12. Эволюция облака бозе-эйнштейновского конденсата, расширяющегося в вакуум

148 2.13. Метод Римана

157 2.14. Эволюция импульса плотности в бозе-эйнштейновском конденсате

157 2.14.1. Монотонный начальный импульс плотности

158 2.14.2. Локализованный начальный импульс плотности

163 2.15. Релятивистская гидродинамика

164 2.15.1. Основные уравнения

166 2.15.2. Скорость звука, римановы инварианты, простые волны

170 2.15.3. Адиабатическое течение

173 2.15.4. Преобразование годографа и функция в ультрааелятивистской гидродинамике

176 2.15.5. Задача Ландау–Халатникова

186 2.16. Бездисперсионные волны в двухкомпонентном конденсате

186 2.16.1. Простые волны

189 2.16.2. Динамика волн поляризации

195 2.17. Одномерное расширение бозе-конденсата, выпущенного из ловушки

198 2.18. Неавтомодельные решения

198 2.18.1. Неавтомодельное расширение облака конденсата

201 2.18.2. Волновой прибой вблизи наклонного берега

204 2.19. Заключение

205 Глава 3. Нелинейность и вязкость

205 3.1. Возможны ли нелинейные волны со стационарным профилем?

208 3.2. Адиабата Рэнкина–Гюгонио

209 3.2.1. Теория Рэнкина

212 3.2.2. Условия на разрыве Гюгонио

218 3.2.3. Теорема Жуге–Цемплена

219 3.2.4. Эволюционность ударной волны

223 3.3. Задача о поршне

228 3.4. Эволюция скачка в распределении плотности и контактные разрывы

230 3.5. Распад начальных разрывов

231 3.5.1. Случай политропных газов

234 3.5.2. Общий случай баротропных газов

241 3.6. Косая ударная волна и течение мимо вогнутого угла

245 3.7. Отражение звука от ударной волны

247 3.8. Устойчивость ударных волн

255 3.9. Эволюция нелинейного импульса в малоамплитудном пределе

260 3.10. Уравнение Бюргерса

261 3.10.1. Вывод уравнения Бюргерса

263 3.10.2. Формирование ударной волны

267 3.10.3. Условие формирования ударной волны в теории Бюргерса

268 3.10.4. Устойчивость ударной волны Бюргерса

271 3.11. Заключение

272 Глава 4. Дисперсия

273 4.1. Эффекты дисперсии для волн на воде

273 4.1.1. Закон дисперсии

276 4.1.2. Линейное уравнение КдФ

279 4.2. Модуляция линейных волн

283 4.3. Перенос энергии волнами и групповая скорость

283 4.3.1. Перенос энергии линейными волнами на воде

285 4.3.2. Перенос энергии

287 4.4. Параболическое уравнение

290 4.5. Метод стационарной фазы

293 4.6. Корабельные волны Кельвина

298 4.7. «Корабельные волны» в бозе-эйнштейновском конденсате

302 4.8. Оптико-механическая аналогия

306 4.9. Движение волновых пакетов вдоль крупномасштабных волн

307 4.9.1. Движение пакета вдоль простой волны

309 4.9.2. Распространение пакета по волне разрежения

312 4.9.3. Движение пакета по локализованному импульсу

314 4.9.4. Движение пакета по волне, описываемой общим решением

317 4.10. Лучевая теория и сохранение энергии

319 4.11. Волновое действие

319 4.11.1. Сохранение волнового действия

320 4.11.2. Волновое действие для линейного уравнения КдФ

321 4.12. Заключение

322 Глава 5. Нелинейность и дисперсия

323 5.1. Уравнение Кортевега–де Фриза

324 5.1.1. Вывод уравнения Кортевега–де Фриза для волн на мелкой воде

329 5.1.2. Кноидальная волна и солитон

333 5.1.3. Устойчивость солитона КдФ

336 5.2. Нелинейное уравнение Шрёдингера

337 5.2.1. Периодическая волна и темный солитон для дефокусирующего НУШ

340 5.2.2. Энергия и импульс темного солитона

343 5.2.3. Мелкие солитоны

345 5.2.4. Фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера

348 5.3. Солитоны обобщенного НУШ

348 5.3.1. Темные солитоны обобщенного НУШ

349 5.3.2. Светлые солитоны обобщенного НУШ

351 5.3.3. Критерий Вахитова–Колоколова для устойчивости светлых солитонов

355 5.4. «Косые» солитоны

358 5.5. Уравнение Кадомцева–Петвиашвили

360 5.6. Изгибная неустойчивость солитона КдФ

364 5.7. Изгибная неустойчивость темного солитона НУШ

364 5.7.1. Уравнения для возмущений солитонного решения

366 5.7.2. Интервал волновых чисел неустойчивых мод

368 5.7.3. Инкремент роста неустойчивых мод при p << pc

370 5.7.4. Интерполяционная формула для инкремента неустойчивых мод

371 5.8. Конвективная неустойчивость косых солитонов

374 5.9. Солитон как частица

375 5.9.1. Теорема Эренфеста

376 5.9.2. Движение яркого солитона НУШ под действием потенциала

379 5.9.3. Внутренняя динамика солитона

382 5.10. Темный солитон как квазичастица

382 5.10.1. Темный солитон для уравнения Гросса–Питаевского

384 5.10.2. Динамика темных солитонов на переменном фоне

392 5.11. Уравнение Бенджамена–Оно

395 5.12. Условия для формирования солитона из начального импульса

397 5.13. Заключение

399 Глава 6. Нелинейные волновые уравнения в физике

399 6.1. Волны на мелкой воде

399 6.1.1. Решение Рэлея

402 6.1.2. Уравнения Серра

405 6.2. Уравнения для волн в двухкомпонентном конденсате с учетом дисперсии

406 6.2.1. Основные уравнения и линейные волны

408 6.2.2. Волны плотности

410 6.2.3. Волны поляризации

410 6.2.4. Волны поляризации

412 6.3. Волны поляризации при близких значениях нелинейных постоянных

415 6.3.1. Приближение нелинейного уравнения Шрёдингера

416 6.3.2. Приближение Каупа–Буссинеска

416 6.3.3. Периодические и солитонные решения для волн поляризации

419 6.4. Нелинейное уравнение Шрёдингера

419 6.4.1. Эволюция электромагнитного импульса в нелинейной среде

422 6.4.2. Волны в цепочке связанных маятников

430 6.4.3. Распространение пакета волн на мелкой воде

433 6.4.4. Волны на глубокой воде

436 6.5. Нелинейное уравнение Шрёдингера с производной

438 6.5.1. Бездисперсионный предел, характеристические скорости и римановы инварианты

439 6.5.2. Модуляционная неустойчивость плоских волн

440 6.5.3. Нелинейные волны с малой амплитудой

442 6.6. Заключение

443 Глава 7. Теория модуляций Уизема

443 7.1. Общая идея теории Уизема

446 7.2. Модуляция линейной волны в теории линейного уравнения Клейна– Гордона

449 7.3. Модуляция волн в теории нелинейного уравнения Клейна–Гордона

455 7.4. Вариационный подход к теории модуляций

457 7.5. Усреднение лагранжиана для уравнения КдФ

460 7.6. Дисперсионная ударная волна и теория Уизема

463 7.7. Теория модуляций для уравнения Бенджамена–Оно

463 7.7.1. Периодическое решение

465 7.7.2. Модуляции периодических решений уравнения Бенджамена–Оно

469 7.7.3. Задача о «разрушении плотины» в теории уравнения БО

471 7.7.4. Уравнение Бенджамена–Оно–Бюргерса

476 7.8. Заключение

477 Глава 8. Теория модуляций для уравнения Кортевега–де Фриза

477 8.1. Модуляционные уравнения Уизема для уравнения Кортевега–де Фриза

484 8.2. Подход Гуревича–Питаевского к теории дисперсионных ударных волн

486 8.3. Обобщенный метод годографа

489 8.4. Эволюция начального разрыва

493 8.5. Опрокидывание волны с параболическим начальным профилем

496 8.6. Опрокидывание волны с кубическим начальным профилем

502 8.7. Автомодельное опрокидывание степенных профилей

504 8.7.1. Опрокидывание положительного импульса

508 8.7.2. Опрокидывание отрицательного импульса

511 8.8. Движение краев дисперсионной ударной волны

512 8.8.1. Положительный импульс

515 8.8.2. Число солитонов, образующихся из положительного импульса

516 8.8.3. Отрицательный импульс

519 8.9. Отрицательный импульс

522 8.10. «Квазипростая» дисперсионная ударная волна (отрицательный импульс)

522 8.10.1. Формулировка задачи

526 8.10.2. Решение при t < tm

528 8.10.3. Решение при t > tm

529 8.10.4. Движение краев дисперсионной ударной волны

532 8.11. Теория Уизема для уравнения КдФ с возмущением

533 8.12. Стационарные ударные волны в системах с диссипацией

537 8.13. Генерация дисперсионных ударных волн течением мимо препятствия

537 8.13.1. Течение в бездисперсионном (гидравлическом) приближении

541 8.13.2. Транскритическое течение в приближении КдФ

546 8.14. Заключение

547 Глава 9. Метод конечнозонного интегрирования и теория Уизема

547 9.1. Полная интегрируемость уравнения КдФ

547 9.1.1. Уравнение Ламе

549 9.1.2. Зонная структура уравнения Ламе

553 9.1.3. Уравнение КдФ как условие совместности двух линейных уравнений

554 9.1.4. Иерархия КдФ и законы сохранения

559 9.1.5. Уравнение КдФ как гамильтонова система

563 9.1.6. Периодическое решение уравнения КдФ

566 9.1.7. Периодические решения иерархии КдФ

568 9.1.8. Другой вывод уравнений Уизема

571 9.2. Схема Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сегюра

571 9.2.1. Уравнение Каупа–Буссинеска как условие совместности линейных систем

571 9.2.2. Общая формулировка матричной схемы

573 9.2.3. Нелинейные уравнения в схеме Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сегюра

577 9.3. Функция Бейкера–Ахиезера и уравнения Дубровина

577 9.3.1. Скалярная спектральная задача

580 9.3.2. Матричная спектральная задача

581 9.3.3. Связь матричной и скалярной спектральных задач

582 9.4. Уравнения Уизема в схеме АКНС

582 9.4.1. Невозмущенные уравнения

584 9.4.2. Возмущенные уравнения

590 9.5. Асимптотическая формула Карпмана

591 9.6. Заключение

593 Глава 10. Теория модуляций для нелинейного уравнения Шрёдингера

593 10.1. Задача Захарова–Шабата

594 10.2. Периодические решения

600 10.3. Уравнения Уизема

602 10.4. Эволюция начальных разрывов

608 10.5. Задача о поршне

610 10.6. Задача о равноускоренном поршне

615 10.7. Квазипростые дисперсионные ударные волны

619 10.8. Асимптотические формулы для числа солитонов

624 10.9. Течение конденсата мимо препятствия

624 10.9.1. Широкое препятствие

631 10.9.2. Узкое препятствие

636 10.9.3. Течение конденсата мимо препятствия при учете диссипации

643 10.10. Заключение

644 Глава 11. Теория модуляций для уравнения Гарднера

645 11.1. Периодические решения

650 11.2. Спектральная параметризация периодических решений

654 11.3. Основные структуры

654 11.3.1. Кноидальные боры

655 11.3.2. Волны разрежения

655 11.3.3. Солиборы (α > 0)

656 11.3.4. Тригонометрические боры (α < 0)

659 11.4. Классификация структур при эволюции разрыва

660 11.4.1. Классификация структур при α >0

662 11.4.2. Классификация структур при α <0

662 11.5. Заключение

664 Глава 12. Теория модуляций для нелинейного уравнения Шрёдингера с производной

664 12.1. Основные определения

666 12.2. Периодические решения

671 12.3. Уравнения Уизема

673 12.4. Элементарные волновые структуры

673 12.4.1. Волны разрежения

676 12.4.2. Кноидальные дисперсионные ударные волны

679 12.4.3. Тригонометрические дисперсионные ударные волны

680 12.4.4. Составные ударные волны

682 12.5. Классификация волновых структур

686 12.6. Заключение

687 Глава 13. Теория модуляций для уравнения ландау–лифшица

687 13.1. Основные определения и закон дисперсии линейных волн

688 13.2. Периодические решения

695 13.3. Уравнения Уизема

697 13.4. Элементарные структуры

698 13.4.1. Плато и волны разрежения

703 13.4.2. Кноидальные дисперсионные ударные волны

708 13.4.3. Контактные дисперсионные ударные волны

715 13.5. Классификация волновых структур

715 13.5.1. Сектор НУШ-типа

717 13.5.2. Сектор КБ-типа

718 13.5.3. Волновые структуры, соответствующие переходам между секторами монотонности

720 13.6. Заключение

721 Глава 14. Общая теория дисперсионных ударных волн

722 14.1. Квазипростые дисперсионные ударные волны и условие Гуревича– Мещеркина

724 14.2. Движение краев дисперсионной ударной волны

724 14.2.1. Уравнение для малоамплитудного края

727 14.2.2. Движение солитонного края

728 14.3. Эволюция начального разрыва

730 14.3.1. Обобщенное уравнение КдФ

731 14.3.2. Уравнение Серра

736 14.3.3. Обобщенное уравнение Гросса–Питаевского

739 14.4. Распространение краев квазипростой дисперсионной ударной волны

739 14.4.1. Обобщенное уравнение КдФ

741 14.4.2. Обобщенное уравнение КдФ

743 14.4.3. Уравнения Серра

746 14.4.4. Уравнения Серра

749 14.4.5. Обобщенное уравнение Гросса–Питаевского

750 14.4.6. Обобщенное уравнение Гросса–Питаевского

751 14.5. Число солитонов, порождаемых интенсивным импульсом

751 14.5.1. Общая теория

753 14.5.2. Обобщенное уравнение КдФ

755 14.6. Интегральный инвариант Пуанкаре–Картана и правило квантования Бора–Зоммерфельда

757 14.6.1. Течение в виде простой волны

760 14.6.2. Общее течение гладкой части импульса

761 14.7. Скорость асимптотических солитонов

763 14.8. Распределение солитонов по скоростям

763 14.8.1. Обобщенное уравнение КдФ

763 14.8.2. Обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера

764 14.9. Распределение солитонов по скоростям

764 14.9.1. Нелинейность вида f(ρ) = ρ

765 14.9.2. Не керровская нелинейность

768 14.10. Заключение

769 Приложение A. Формулы изтеории эллиптических функций

777 Список литературы

%

Одностраничный режим чтения

Основной режим чтения

Отправить на печать

Видео

Доп.материалы

Содержание

Теория нелинейных волн

Автор: Камчатнов А. М.

Вернуться на сайт

Открыть для копирования

В книге

На странице

Скачать выбранные

Копирование: 397 (397) страниц | Печать: 158 (158) страниц

Ограничения на печать и копирование введены правообладателем. В скобках
указан остаток по каждому пункту с учетом того, что Вы уже использовали